Možnosti výpočtu soustavy rovnic pomocí matice či determinantu

Mějme soustavu tří rovnic se 3 neznámými a počítejme ji pomocí matic a determantů.

Převedení soustavy rovnic na matici

Mějme soustavu tří rovnic se 3 neznámými:
 x + 2y + z = 6 
2x -  y + z = 5  
 x -  y - z = 6

a z ní matici:

( 1  2  1 6 )
( 2 -1  1 5 )
( 1 -1 -1 6 )

Možnosti řešení jsou:

  1. úprava matice na trojúhelníkový tvar
  2. pomocí Cramerova pravidla

1. Úprava matice na trojúhelníkový tvar

Postup konstrukce trojúhelníkového tvaru matice:

  1. Dělením prvního řádku dostaneme číslo 1 na 1. místě 1. řádku matice
  2. Násobíme první řádek takovými čísly, aby po odečtení jeho násobků od dalších řádků vyšla na jejich prvním místě vždy nula. Tak získáme nuly v prvním sloupci matice.
  3. Obdobně pracujeme s druhým číslem 2. řádku, pokud je různé od nuly. (Pokud je číslo na tomto místě matice rovno nule, vhodně přehodíme řádky matice.)
  4. Využíváme změn pořadí řádků matice k urychlení postupu.

Příklad

Vezměme naši matici a upravujme:
( 1 -1 -1 6 )  *(-2)-/   *(-1)-/        ( 1 -1 -1  6 )                 ( 1 -1 -1   6 )
( 2 -1  1 5 )  < ----/         /    ~   ( 0  1  3 -7 ) *(-3)-/    ~  ( 0  1  3  -7 )           ~
( 1  2  1 6 )  < -------------/          ( 0  3  2  0 ) < ---/         ( 0  0 -7  21 ) :(-7)

  a výsledná matice    ( 1 -1 -1 6 )
             ~                 ( 0  1  3 -7 )  
                                ( 0  0   1 -3 )
kterou můžeme přepsat zpět na rovnice
 x - y -    z =   6
      y + 3z = -7
              z = -3   
Odtud už je postupem od zdola snadné dopočítat všechny výsledky(x = 5, y = 2, z = -3).
 

2. Výpočet soustavy rovnic pomocí Cramerova pravidla

Metoda výpočtu soustavy rovnic pomocí Cramerova pravidla požaduje znalos výpočtu determinantu matice. Platí, že je potřeba vypočítat takový počet determinantů, kolik má soustava neznámých plus 1 navíc.

  1. Vypočítáme determinant nerozšířené matice soustavy rovnic D (determinant matice bez absolutních členů)
  2. Postupně počítáme další determinanty(Dx, Dy, Dz...), ve kterých příslušné sloupce nahrazujeme sloupcem absolutních členů soustavy rovnic.
  3. Neznámé vypočteme jednoduchým podílem příslušného determinantu a determinantu nerozšířené matice soustavy.

Je-li determinant nerozšířené matice soustavy rovnic D různý od nuly, pak tato soustava má jediné řešení.
Je-li tento determinant D = 0, pak soustava buď nemá řešení a nebo má nekonečně mnoho řešení.

Příklad

       | 1  2  1 |
D =  | 2 -1  1 |  = 1 - 2 + 2 + 1 + 1 + 4 = 7  ⇒ soustava má jedno řešení  
       | 1 -1 -1 |

          | 6  2  1 |
Dx =   | 5 -1  1 |  = 6 - 5 + 12 + 6 + 6 + 10 = 35  ⇒ x = Dx / D = 35 / 7 = 5  
          | 6 -1 -1 |

          | 1  6   1 |
Dy =   | 2  5   1 |  = -5 + 12 + 6 - 5 - 6 + 12 = 14 ⇒ y = Dy / D = 14 / 7 = 2  
          | 1  6  -1 |

          | 1  2  6 |
Dz =   | 2 -1  5 |  = -6 - 12 + 10 + 6 + 5 - 24 = -21 ⇒ z = Dz / D = -21 / 7 = -3  
          | 1 -1  6 |

Pro výpočet determinantů bylo použito Sarrusovo pravidlo.

 

 

Není Vám něco jasné? Zeptejte se v komentářích!

Zkusíme společně najít odpověď.

Komentáře

Obrázek uživatele aleš

ahoj

Potřeboval bych pomoc jedným příkladem

x-2y=0
x+3=1-y
a pot tim x+3 příde 2 jako do zlomku a ještě pod 1-y příde 4 jako zlomek a potřeboval bych to vypočítat

Obrázek uživatele fanda

LOL

Výsledek:
x=-2, y=-1
Na jakou chodíš školu? :)

Obrázek uživatele Evita

soustava rovnic

Mohl by mi někdo pomoci s tímto příkladem??

3k1-2k2+k3=0
-4k1-3k2+4k3=0

Lze to vyřešit pomocí matice?? Mě to stále nejde. Lze to i "normálním způsobem" jako soustavu rovnic? Tři rovnice o třech neznámých mi jdou, ale s tímto si pořád nevím rady.

dííky

Obrázek uživatele fanda

Neřešitelná soustava

Pokud to chápu správně, máš 2 rovnice a 3 neznámé. Jedna rovnice chybí a bez ní správné řešení pomocí matice nenajdeš.

Pravidlo: počet neznámých odpovídá počtu rovnic

Obrázek uživatele Evita

dííky, ale..

děkuji za vysvětlení... :-) Lze tedy jako třetí rovnici doplnit s nulvou proměnnou, tedy 0k1+0k2+0k3=0 ??? a vypočítat?? Ve skriptech bylo uváděno, že zda jsou vektory lin.závislé zjistíme doplněním do rovnice, kdy na jedné str. je nula a vypočteme koeficient a je-li alespoň jeden různý od nuly, pak jsou závislé. Máme-li však 3 vektory o dvou souřadnicích, vyjdou dvě rovnice o třech neznámých :-((((

Obrázek uživatele fanda

Promiň za pozdní odpověď.

Promiň za pozdní odpověď. Pokud bys odpovědi potřebovala rychleji tak napiš email nebo napiš svůj.

Obrázek uživatele fanda

0k1+0k2+0k3=0, 0=0 ... to

0k1+0k2+0k3=0, 0=0 ... to není k ničemu (pokud je mi známo).

Lineární závislost má cenu určovat pouze mezi dvěma vektory. Pokud máš 3 vektory v1, v2 a v3, tak můžeš posoudit zda jsou lineárně závislé v1 a v2, nebo v1 a v3, nebo v2 a v3. Z toho se pak dá vydedukovat zda jsou lineárně závislé též všechny tři vektory zároveň.

Jinými slovy, zjišťuj lineární závislost pouze mezi dvěma vektory.

Obrázek uživatele Michal

Děkuji za vysvětlení;)

Děkuji za vysvětlení;)

Obrázek uživatele Pepa

Dotaz

Ahojte,chci se zeptat jestli muzu pouzit Cramerovo pravidlo pro soustavu rovnic o 4 nezných(4 řádky a 4 sloupce)
Díky za odpověď

Obrázek uživatele fanda

Odpověď

Creamerovo pravidlo je použitelné na soustavu o libovolném počtu neznámých. Nevýhodou je obtížnější výpočet determinantů.

4 řádky a 4 sloupce jsou samozřejmostí. 4 řádky znamená, že soustava má 4 rovnice, což je minimum, pokud jsou v soustavě 4 neznámé. Každý sloupec odpovídá jedné neznámé.

Obrázek uživatele Kaik

Díky

Taky děkuji, pomohlo.

Obrázek uživatele Eva

Díky :)

Díky :)