Relace a zobrazení - příklady
Řešené příklady do diskrétní matematiky, nyní pro změnu relace a zobrazení.
Příklad 1.
Na množině X = {1,2,3,4,5,6,7} je dána relace R = { (x, y) | x, y 
X, x dělí y }. Zapište R výčtem prvků. Určete její definiční obor a obor hodnot. Nalezněte inverzní relaci.
Řešení:
Vytvoříme si relační tabulku.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 6 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 7 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Pomocí tabulky snadno zapíšeme R výčtem prvků.
R = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7) }
Definiční obor Dom R = X = {1,2,3,4,5,6,7}
Obor hodnot Im R = X = {1,2,3,4,5,6,7}
Inverzní relace R-1 = { (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (7, 1), (2, 2), (4, 2), (6, 2), (3, 3), (6, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7) }
Příklad 2.
Nechť R1 = { (1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8) }, R2 = { (2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u) }. Zapište výčtem prvků relace R-11, R-12, R2 ° R1, (R2 ° R1)-1, R-11 ° R-12.
Řešení:
R-11 = { (2, 1), (6, 1), (4, 2), (4, 3), (6, 3), (8, 3) }
R-12 = { (u, 2), (s, 4), (t, 4), (t, 6), (u, 8) }
R2 ° R1 = { (1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) }
(R2 ° R1)-1 = R-11 ° R-12 = { (u, 1), (s, 2), (s, 3), (t, 2), (t, 3), (u, 3), (t, 1) }
Příklad 3.
Nechť f(x) = sin x, g(x) = ln x, h(x) = 2x. Stanovte definiční obor a obor hodnot funkce g ° f ° h. Určete (g ° f ° h)(pí / 4).
Řešení:
g ° f ° h = ln (sin2x).
Určíme Dom a Im jednotlivých funkcí:
Dom h = R, Im h = R
Dom f = R, Im f = <-1, 1>
Dom g = (0, nekonečno), Im g = R
Je třeba si uvědomit, že výstup vnitřní funkce se stává vstupem funkce vnější. Funkce g příjmá kladná reálná čísla, ale na výstupu funkce f je interval <-1, 1>. Im f "průnik" Dom g je interval (0, 1>, tedy nový definiční obor vnější funkce g. Musíme zjistit, pro která x nabývá funkce f hodnot z intervalu (0, 1>. Protože ale Dom f = Im h = Dom h = R, můžeme tak činit již pro složenou funkci f ° h, tedy pro sin2x.
Z grafu funkce sin2x je vidět, že tato funkce nabývá hodnot (0, 1> pro všechna x ze sjednocení otevřených intervalů(k*pí, k*pí + pí/2), kde k Z.. Toto sjednocení intervalů je také definičním oborem složené funkce g ° f ° h. Pro zjištění oboru hodnot si stačíuvědomit, která x jsou vstupem funkce g. To jsme zjistili již při určování definičního oboru složené funkce. Je jím interval (0, 1>.
Z grafu přirozeného logaritmu, tedy funkce g, je názorně vidět, že pro x (0, 1> nabývá funkce g hodnot v intervalu (-nekonečno, 0> a tento interval je také oborem hodnot složené funkce g ° f ° h.
Zbývá už jen určit funkční hodnotu pro x = pí/4.
pí/4 Dom (g ° f ° h) => (g ° f ° h)(pí/4) = ln (sin pí/2) = ln 1 = 0.
Výsledky
Dom (g ° f ° h) = všechna x ze sjednocení otevřených intervalů(k*pí, k*pí + pí/2), kde k Z.
Im (g ° f ° h) = (-nekonečno, 0>
(g ° f ° h)(pí/4) = 0