Soustavy rovnic, matice a determinanty

Výpisek z diskrétní matematiky o soustavách rovnic s neznámými, o maticích a determinantech.

Lineární rovnice

    • Homogenní
    • všechny absolutní členy rovny 0
    • vždy má řešení a to uspořádanou n-tici
    • význam parametru
    • volné a vázané neznámé
  • Nehomogenní

Počet neznámých = počet rovnic = počet řešení

Matice

= obdélníkové schéma/tabulka
rozměr: počet řádků / počet sloupů = m / n; pokud m=n jde o čtvercovou matici

    typy:
  • nulová = všechny prvky matice jsou nulové
  • Diagonální = nenulové jsou pouze prvky na hlavní diagonále
  • Jednotková = diagonální matice, jež má všechny prvky diagonály rovny jedné
  • Trojúhelníková horní = nulové jsou všechny prvky pod hlavní diagonálou
  • Trojúhelníková dolní = nulové jsou všechny prvky nad hlavní diagonálou

Pokud se v matici(soustavě rovnic) nachází řádek, který je lineární kombinací jiných řádků, může být z matice odstraněn, neboť je nadbytečný a nemá vliv na řešení matice(soustavy rovnic).
Hodnost matice = počet lineárně nezávislých řádků matice, výpočet např. pomocí GEM, v závislosti na parametru

Sčítání matic: POUZE pro matice stejných rozměrů. Sčítání prvků odpovídajících si pozic. c(i,j) = a(i,j) + b (i,j)
Součin matic: POUZE matice typu m/p a p/n v tomto pořadí; viz pomůcka: A(m,p) + B(p,n) = C(m,n), přičemž c(i,j) = ∑(k=1..p) a(i,p) x b(p,j)
Matice transponovaná = záměna řádků a sloupců (při stejné hodnotě determinantu)

    Inverzní matice
  • A x A‭inv = E (tj. jednotková matice)
  • Postup výpočtu pomocí GEM
  • Možný výpočet pomocí determinantu
  • Matice regulární a singulární

Determinant matice

Determinant matice je číslo
výpočet determinantu 2. řádu pomocí křížového pravidla
výpočet determinantu 3. řádu pomocí Sarrussova pravidla
vyšší řády pomocí Laplaceova rozvoje

    typy čtvercových matic:
  • Singulární matice - její determinant je roven nule => rovnoběžnostěn má nulový objem
  • Regulární matice - její determinant je různý od nuly

Při výměně dvou řádků nebo dvou sloupců se znaménko determinantu změní na opačné!!!

Gaussova eliminace

- způsob řešení soustavy rovnic postupným upravováním matice do tvaru, kdy jsou pod hlavní diagonálou matice jen nuly. V takovém tvaru matice jednoduše zjistíme řešení soustavy rovnic.

    Pro eliminaci proměných z jednotlivých řádků matice jsou povoleny následující operace:
  • Násobení/dělení jednotlivých řádků nenulovým číslem
  • Prohazování jednotlivých řádků matice
  • Přičítání násobků jednotlivých řádků jiným řádkům
    Kroky v příkladu třířádkové matice:
  1. Ostranění proměné x z 2. a 3. řádku
  2. Odstranění y ze třetího řádku
  3. Dosazení z ze třetího řádku do vyšších řádků

Výsledkem je rozšířená matice, která má na diagonále samé jedničky a v posledním sloupci jsou řešení pro jednotlivé proměné.

Frobeniova věta

Nehomogenní soustava lineárních rovnic má alespoň jedno řešení právě tehdy když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy.

Cramerovo pravidlo

= metoda řešení soustavy lineárních rovnic pomocí determinantu.