Mějme soustavu tří rovnic se 3 neznámými a počítejme ji pomocí matic a determantů.

Převedení soustavy rovnic na matici

 x + 2y + z = 6 
2x -  y + z = 5  
 x -  y - z = 6

a z ní matici:

( 1  2  1 6 )
( 2 -1  1 5 )
( 1 -1 -1 6 )

Možnosti řešení jsou:

1. úprava matice na trojúhelníkový tvar
2. pomocí Cramerova pravidla

1. Úprava matice na trojúhelníkový tvar

Postup konstrukce trojúhelníkového tvaru matice:

1. Dělením prvního řádku dostaneme číslo 1 na 1. místě 1. řádku matice
2. Násobíme první řádek takovými čísly, aby po odečtení jeho násobků od dalších řádků vyšla na jejich prvním místě vždy nula. Tak získáme nuly v prvním sloupci matice.
3. Obdobně pracujeme s druhým číslem 2. řádku, pokud je různé od nuly. (Pokud je číslo na tomto místě matice rovno nule, vhodně přehodíme řádky matice.)
4. Využíváme změn pořadí řádků matice k urychlení postupu.

Příklad

Vezměme naši matici a upravujme:
( 1 -1 -1 6 )  *(-2)-/   *(-1)-/        ( 1 -1 -1  6 )                 ( 1 -1 -1   6 )
( 2 -1  1 5 )  < ----/         /    ~   ( 0  1  3 -7 ) *(-3)-/    ~  ( 0  1  3  -7 )           ~
( 1  2  1 6 )  < -------------/          ( 0  3  2  0 ) < ---/         ( 0  0 -7  21 ) :(-7)

  a výsledná matice    ( 1 -1 -1 6 )
             ~                 ( 0  1  3 -7 )  
                                ( 0  0   1 -3 )
kterou můžeme přepsat zpět na rovnice
 x - y -    z =   6
      y + 3z = -7
              z = -3   
Odtud už je postupem od zdola snadné dopočítat všechny výsledky(x = 5, y = 2, z = -3).
 

2. Výpočet soustavy rovnic pomocí Cramerova pravidla

Metoda výpočtu soustavy rovnic pomocí Cramerova pravidla požaduje znalos výpočtu determinantu matice. Platí, že je potřeba vypočítat takový počet determinantů, kolik má soustava neznámých plus 1 navíc.

1. Vypočítáme determinant nerozšířené matice soustavy rovnic D (determinant matice bez absolutních členů)
2. Postupně počítáme další determinanty(Dx, Dy, Dz...), ve kterých příslušné sloupce nahrazujeme sloupcem absolutních členů soustavy rovnic.
3. Neznámé vypočteme jednoduchým podílem příslušného determinantu a determinantu nerozšířené matice soustavy.

Je-li determinant nerozšířené matice soustavy rovnic D různý od nuly, pak tato soustava má jediné řešení.
Je-li tento determinant D = 0, pak soustava buď nemá řešení a nebo má nekonečně mnoho řešení.

Příklad

       | 1  2  1 |
D =  | 2 -1  1 |  = 1 - 2 + 2 + 1 + 1 + 4 = 7  ⇒ soustava má jedno řešení  
       | 1 -1 -1 |

          | 6  2  1 |
Dx =   | 5 -1  1 |  = 6 - 5 + 12 + 6 + 6 + 10 = 35  ⇒ x = Dx / D = 35 / 7 = 5  
          | 6 -1 -1 |

          | 1  6   1 |
Dy =   | 2  5   1 |  = -5 + 12 + 6 - 5 - 6 + 12 = 14 ⇒ y = Dy / D = 14 / 7 = 2  
          | 1  6  -1 |

          | 1  2  6 |
Dz =   | 2 -1  5 |  = -6 - 12 + 10 + 6 + 5 - 24 = -21 ⇒ z = Dz / D = -21 / 7 = -3  
          | 1 -1  6 |

Pro výpočet determinantů bylo použito Sarrusovo pravidlo.